Dotado de un espíritu curioso y versátil, Eloy Orzaiz es clavecinista, fortepianista y pianista. Tras obtener una sólida formación pianística en su ciudad natal (Pamplona) y en Musikene (con el profesor Miguel Ituarte), recibe becas del Gobierno de Navarra, la Fundación Humboldt (Premio Hezekiah Wardwell) y la Fundación Nuffic (Excellence Programme), lo que le permite continuar sus estudios en los conservatorios de La Haya y Groningen (Países Bajos), en la Hochschule für Musik de Trossingen (Alemania) y en la Schola Cantorum de Basilea (Suiza). Guiado por maestros como Johan Hofmann, Paul Komen, J.A. Bötticher, Jesper Christensen y Edoardo Torbianelli, se gradúa con las más altas calificaciones en varios estudios de máster y, en 2014, es nombrado lauréat de la Fundación Royaumont.

Dichos estudios no solo le proporcionan una sólida base técnica y artística, sino que también profundizan su conocimiento de los diversos estilos, estéticas y repertorios que abarcan desde el Renacimiento hasta nuestros días.

La música de cámara constituye otra de sus grandes pasiones. Se presenta con regularidad en el escenario junto a artistas de la talla de Amandine Beyer – Gli Incogniti, Stéphanie Paulet, Acte 6 y Naaman Sluchin. Su grabación en dúo con este último ha sido acogida con entusiasmo por la crítica especializada (Melómano de Oro, 5 estrellas en Classica Magazine), al igual que su primer álbum en solitario, La Contemplazione (IBS Classical). Asimismo, funda junto a Marta Ramírez El Parnasillo, un ensemble especializado en el redescubrimiento del repertorio para violín y teclados históricos de los siglos XVIII y XIX. En 2019, El Parnasillo fue finalista del Concurso Internacional de Música Antigua de York (Inglaterra).

Eloy fue clavecinista de la European Union Baroque Orchestra (EUBO) y colabora regularmente con orquestas como la Insula Orchestra y la Irish Baroque Orchestra (IBO). Desde su fundación, es miembro activo de La Nouvelle Athènes, centro dedicado a la promoción del fortepiano en Francia. Actualmente, es profesor de teclados históricos en el Conservatorio de Boulogne-Billancourt (Francia).